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mathématiques

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espace pédagogique > disciplines du second degré > mathématiques > enseignement > actions nationales > actions nationnales 2007-2009 > Projets de scénarii (lycée)

Curiosités arithmétiques

mis à jour le 03/05/2009


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A partir d'une curiosité arithmétique, il s'agit de découvrir une formule algébrique. Dans la deuxième situation, plus difficile, le passage au calcul littéral, préparé par l'utilisation d'un tableur, est bien accompagné par l'utilisation du calcul formel.

mots clés : algèbre, tableur


Enoncé de l'activité

Première situation

Calculer :
 

 Qu'y a-t-il de remarquable ? En est-il toujours ainsi ?

Deuxième situation

Vérifier que :


 Qu'y a-t-il de remarquable ? En est-il toujours ainsi ?
 

Déroulement du scénario

Première situation

Très rapidement, les élèves ont observé que chaque calcul avait pour résultat 4.
Ensuite la plupart des élèves ont testé d'autres valeurs à la main puis au tableur et se contentent de l'expérimentation au tableur pour conclure. Peu d'élèves voient la nécessité de passer du tableur au calcul algébrique. Ils arrivent plus ou moins rapidement à une expression algébrique et le développement de cette expression se fait sans problème.

Deuxième situation

Pour la deuxième situation, les élèves ont d'abord mobilisé un tableur pour constater qu'effectivement, le nombre s'écrit sous la forme du carré d'un nombre entier N mais ils ont du mal à exprimer cet entier N en fonction de n. Ils finissent par deviner  ou .
Le tableur confirme ce résultat qui reste à prouver.

Pour la preuve, les élèves commencent par développer l'expression et là ils n'hésitent pas à mobiliser le calcul formel pour vérifier les étapes du calcul.
Ils doivent ensuite développer  et ils n'ont pas l'habitude de ce type de calcul. Le calcul formel rassure.
Le calcul formel permet le calcul accompagné par ordinateur et son utilisation confiance aux élèves.

Certains élèves ont directement tenté de factoriser l'expression : .
Avec l'accompagnement du professeur , ils ont piloté XCAS comme suit et sont venus expliquer leur résultat à la classe via le vidéoprojecteur.



Les élèves sont d'abord surpris par la complexité de l'expression, les radicaux font peur mais le professeur rassure.
D'autres radicaux ont déjà été rencontrés en factorisant :  ... et puis on peut rappeler le nombre d'or et l'équation .
Ensuite, la discussion a été particulièrement intéressante pour le passage de l'étape 3 à l'étape 4.
La propriété  n'apparaissant pas de manière évidente .
Enfin apparaît le carré d'un entier mais est-ce bien le même : , , sont-elles bien trois écritures pour un même nombre ?
A-t-on bien , pour tout entier naturel n,  ==.
On le vérifie à la main et pas avec Xcas.

Le calcul formel permet à l'élève de passer aux commandes, il pilote et... il adore.
L'élève identifie les calculs à faire, il décide de la stratégie à suivre et il délègue la tâche calculatoire au logiciel.
Il confie au calculateur un calcul dont il maîtrise la nature mais dont il ne maîtrise pas la difficulté.

Compétences expérimentales

  • Prendre l'initiative d'utiliser un tableur pour tester la robustesse d'une conjecture.
  • Mobiliser un logiciel de calcul formel pour accompagner un calcul long, délicat ou inhabituel.
  • Piloter un logiciel de calcul formel après avoir identifié le besoin de calcul et la stratégie à suivre.
 
auteur(s) :

Jean-Luc Planès

information(s) pédagogique(s)

niveau : 2nde

type pédagogique : non précisé

public visé : enseignant, élève

contexte d'usage : non précisé

référence aux programmes :

documents complémentaires

Deux expérimentations et .

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