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pourquoi travailler des contre-exemples en classe ?

mis à jour le 08/06/2018


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A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?

mots clés : contre-exemple


Pour être comprise, une propriété ou une définition a besoin d’exemples, de schémas synthétiques mais aussi de contre exemples

Il est parfois difficile de donner une définition rigoureuse de certains objets mathématiques (droites, angles...). Des exemples et des contre exemples bien choisis peuvent suffire pour les conceptualiser.

Un exemple: le cercle

 
   Pour définir le cercle de centre O et de rayon 5, on peut tracer le schéma suivant en précisant que c’est l’ensemble des point M tel que OM = 5.  
   La définition gagne en visibilité si on rajoute un point N à l’intérieur du disque et un point P à l’extérieur du disque. En explicitant que ON<5 et OP>5.  
   On comprend mieux ce qu’est une corde lorsque l’on montre l’image suivante en disant que h et k sont des cordes alors que [AB], f, j et g n’en sont pas.  

Un exemple au lycée : la continuité d’une fonction

 
Parmi les représentations de fonctions suivantes, seuls deux correspondent à des fonctions continues :
 une fonction escalier, une ellipse, x²,  cos (x)


Si on ne travaille que sur des tableaux de proportionnalité, alors, pour les élèves, tous les tableaux sont des tableaux de proportionnalité. Il est donc important et essentiel d’aborder très tôt des tableaux de non-proportionnalité.
Si on ne travaille que sur des triangles rectangles lorsque l’on aborde le théorème de Pythagore, les élèves ne vont pas comprendre pourquoi on a besoin d’écrire des phrases du type « Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore….. ».
Comment justifier que dans le théorème des valeurs intermédiaires, il faut préciser que la fonction doit être continue, il suffit de montrer sur un simple contre-exemple que cela ne fonctionne pas avec une fonction non continue.
 
 

Autant un cas particulier ou plusieurs cas particuliers ne permettent pas de démontrer une généralité, autant un contre-exemple permet de mettre en échec une hypothèse.

Par exemples :

Au collège
  • La simplification de fraction 1664=14  en barrant les 6.
    1995=15 en barrant les 9
  • A×B est toujours plus grand que A
Au lycée
  • On peut affirmer que N2+N+41 est premier pour tout entier N naturel. Cela fonctionne effectivement pour les 40 premiers entiers naturels mais pas pour 40.
  • Pour démontrer qu’une fonction est croissante, il ne suffit pas de tester sur deux valeurs.
    Si on prend f(x)=x2, f(-5)>f(1) donc f est décroissante.
  • Si a>b alors 1a<1b avec a et b non nuls.
     
 

Outre la compréhension du cours, travailler sur des contre-exemples permet de travailler sur la logique et les raisonnements déductifs.

Par exemples :
  • Affirmer «  Tous les stylos de ma trousse sont bleus. ». Pour montrer que c’est faux il suffit d’en sortir un qui n’est pas bleu. Pour démontrer que c’est vrai, il faut sortir tous les stylos de la trousse. Le faire concrètement en classe ne peut qu’aider à comprendre le concept.
  • On affirme « S’il fait beau alors je vais à la plage. » Qu’est-ce que je peux affirmer s’il fait beau ? si je vais à la plage ? si je ne vais pas à la plage ? s’il ne fait pas beau ?
 
A VENIR
  • Exemples au collège répartis par thème
  • Exemples au lycée répartis par thème
 

information(s) pédagogique(s)

niveau : tous niveaux

type pédagogique :

public visé : non précisé

contexte d'usage :

référence aux programmes :

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