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Bénéfice au stade

mis à jour le 04/05/2009

Cette activité d'optimisation proposée aux élèves de la série L privilégie l'outil «tableur».

mots clés : tableur , optimisation , maximum

Enoncé

Le stade ... peut accueillir 50000 personnes au maximum. On y organise des spectacles (compétitions sportives, concerts, etc ...). La société qui gère l'organisation d'évènements dans ce stade a connaissance de quelques données statistiques :
-   Lorsque l'entrée au spectacle est gratuite, le stade est plein.
-   Le nombre de spectateurs diminue proportionnellement à l'augmentation du prix du billet :
Chaque augmentation d'un euro sur le prix du billet d'entrée entraîne une diminution de 600 spectateurs.
-   L'organisation d'un spectacle entraîne un coût fixe de 200000 euros auquel il faut ajouter un coût égal à 5 euros par spectateur.

L'objectif de cette société est de réaliser un bénéfice maximal lorsqu'elle organise un tel spectacle. Pour simplifier la situation, on considère que le prix du billet sera le même pour tous les spectateurs (quelque soit leur place dans le stade ...).
A quel prix (au centime d'euro près) doit-elle fixer le billet d'entrée ? Quel sera alors le bénéfice réalisé et le nombre de spectateurs dans le stade ?
Toute tentative de résolution, même partielle, doit apparaître sur la copie. Les outils tels que la calculatrice ou le tableur de l'ordinateur peuvent être utilisés. La réponse doit être justifiée sous n'importe quelle forme (calculs , tableaux, graphiques ...).

Déroulement du scénario

On peut voir la totalité de cette expérimentation et les travaux d'élèves sur l'annexe jointe

Contexte

En début d'année de première (en maths-info). Les élèves ont déjà travaillé sur le tableur à plusieurs reprises. L'énoncé est donné à une classe de 24 élèves en début d'heure. La classe est organisée en 10 groupes de 2 ou 3 élèves. Les élèves sont installés dans une salle banalisée mais peuvent accéder aux ordinateurs d'une salle adjacente.

Déroulement

Première scéance (1heure)

Après lecture de l'énoncé, une équipe décide d'aller directement travailler sur un ordinateur.
Les autres restent dans la salle banalisée.

Dans beaucoup d'équipes, la discussion s'engage autour d'une question : « faut-il fixer un prix d'entrée le plus grand possible pour réaliser le bénéfice maximal ? » .Quelques équipes mettent beaucoup de temps pour répondre par la négative à cette question. Pour ces élèves la recette et le bénéfice ne font qu'un ...
Quelques exemples proposés par le professeur permettent de clarifier cette question.
Deux équipes choisissent alors de faire les calculs sur le tableur après quelques essais sur papier.
Pratiquement toutes les équipes se lancent dans la réalisation d'un tableau sur papier pour présenter les calculs après être convaincus de la nécessité de faire plusieurs essais de prix.
Une équipe tient à réaliser un graphique avant de passer à un tableau.

Aucune équipe ne passe au calcul algébrique en prenant le prix d'une place pour variable ...
3 équipes sur 10 ont donc utilisé le tableur au cours de cette séance.

A la fin de cette séance : L'équipe qui a travaillé toute la séance sur le tableur a imprimé un tableau sur lequel apparaît clairement le prix à un euro près qui permet de réaliser le bénéfice maximal. Les autres équipes ont effectué des essais mais ne s'approchent pas encore de ce résultat. Une équipe de 2 élèves n'a toujours pas compris le problème.

Deuxième séance (35 minutes))
Le professeur projette les 7 extraits des copies des élèves proposés ci-dessous.
Les élèves sont invités, en classe entière, à réagir et à prendre des notes pendant la discussion.
L'objectif annoncé en début de séance est de finir ce problème à la maison (ou au lycée), toujours par équipe, avec un délai d'une semaine.
Après échanges, la plupart des équipes annoncent qu'elles utiliseront le tableur pour finir ce travail. Quelques autres préviennent qu'elles ne réussiront pas par manque de maîtrise de l'outil. Le professeur commence alors le tableau sur le tableur et les élèves suivent grâce au vidéoprojecteur.

[titrelong

Le travail final est rendu une semaine plus tard.
Huit équipes rendent un tableau obtenu par un tableur. Parmi ces équipes, certaines ont trouvé le prix cherché au centime près, les autres s'en tenant à un arrondi à l'euro près.
Une équipe rend un tableau similaire sur papier (le tableur n'a pas été utilisé).
L'équipe qui n'avait pas compris le problème rend un tableau incomplet sur papier.

prix billet	nb spec	recette	dépense	bénéf
43	24 200	1 040 600	321 000	719 600
43,1	24 140	1 040 434	320 700	719 734
43,2	24 080	1 040 256	320 400	719 856
43,3	24 020	1 040 066	320 100	719 966
43,4	23 960	1 039 864	319 800	720 064
43,5	23 900	1 039 650	319 500	720 150
43,6	23 840	1 039 424	319 200	720 224
43,7	23 780	1 039 186	318 900	720 286
43,8	23 720	1 038 936	318 600	720 336
43,9	23 660	1 038 674	318 300	720 374
44	23 600	1 038 400	318 000	720 400
44,1	23 540	1 038 114	317 700	720 414
44,2	23 480	1 037 816	317 400	720 416
44,3	23 420	1 037 506	317 100	720 406
44,4	23 360	1 037 184	316 800	720 384
44,5	23 300	1 036 850	316 500	720 350
44,6	23 240	1 036 504	316 200	720 304
44,7	23 180	1 036 146	315 900	720 246
44,8	23 120	1 035 776	315 600	720 176
44,9	23 060	1 035 394	315 300	720 094
45	23 000	1 035 000	315 000	720 000

auteur(s) :

Olivier Pinson

information(s) pédagogique(s)

niveau : 1ère L

type pédagogique : non précisé

public visé : enseignant, élève

contexte d'usage : non précisé

référence aux programmes :

documents complémentaires

Les fichiers associés

Un expérimentation

Optimisation du bénéfice au format XLS ou ODS

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