mathématiques

Très rapidement, les élèves ont observé que chaque calcul avait pour résultat 4.
Ensuite la plupart des élèves ont testé d'autres valeurs à la main puis au tableur et se contentent de l'expérimentation au tableur pour conclure. Peu d'élèves voient la nécessité de passer du tableur au calcul algébrique. Ils arrivent plus ou moins rapidement à une expression algébrique et le développement de cette expression se fait sans problème.

Pour la deuxième situation, les élèves ont d'abord mobilisé un tableur pour constater qu'effectivement, le nombre s'écrit sous la forme du carré d'un nombre entier N mais ils ont du mal à exprimer cet entier N en fonction de n. Ils finissent par deviner  ou .
Le tableur confirme ce résultat qui reste à prouver.

Pour la preuve, les élèves commencent par développer l'expression et là ils n'hésitent pas à mobiliser le calcul formel pour vérifier les étapes du calcul.
Ils doivent ensuite développer  et ils n'ont pas l'habitude de ce type de calcul. Le calcul formel rassure.
Le calcul formel permet le calcul accompagné par ordinateur et son utilisation confiance aux élèves.

Certains élèves ont directement tenté de factoriser l'expression : .
Avec l'accompagnement du professeur , ils ont piloté XCAS comme suit et sont venus expliquer leur résultat à la classe via le vidéoprojecteur.


Les élèves sont d'abord surpris par la complexité de l'expression, les radicaux font peur mais le professeur rassure.
D'autres radicaux ont déjà été rencontrés en factorisant :  ... et puis on peut rappeler le nombre d'or et l'équation .
Ensuite, la discussion a été particulièrement intéressante pour le passage de l'étape 3 à l'étape 4.
La propriété  n'apparaissant pas de manière évidente .
Enfin apparaît le carré d'un entier mais est-ce bien le même : , , sont-elles bien trois écritures pour un même nombre ?
A-t-on bien , pour tout entier naturel n,  ==.
On le vérifie à la main et pas avec Xcas.

Le calcul formel permet à l'élève de passer aux commandes, il pilote et... il adore.
L'élève identifie les calculs à faire, il décide de la stratégie à suivre et il délègue la tâche calculatoire au logiciel.
Il confie au calculateur un calcul dont il maîtrise la nature mais dont il ne maîtrise pas la difficulté.