mathématiques

Cette activité a été proposée au milieu de l'année de seconde : les élèves ont déjà rencontré quelques situations de géométrie plane dans lesquelles les fonctions interviennent. Les notions de fonction, de sens de variation, d'extremum sont en cours de construction.
Les élèves n'ont aucune expérience sous Géospace c'est pourquoi j'ai choisi de projeté l'animation en vidéoprojection. Les élèves ont déjà fait appel à un logiciel de calcul formel mis à disposition dans la salle de classe : cela peut-être une TI89 ou une TInspire rétroprojetable achetée par l'établissement, ou un logiciel comme Xcas ou Dérive installé sur un ordinateur ressource en fond de classe.

Le texte de l'activité est distribué.
Quelques cas particuliers sont abordés : M au milieu de [AB], cas où AM=2 etc...
Les élèves imaginent mal ce qui se passe quand M est proche de A ou de B.
Je propose alors une animation avec Géospace.

S'approprier la situation avec le logiciel géospace :



La figure dynamique obtenue par le pilotage au clavier du point M va permettre à chaque élève de s'approprier la situation. On peut lancer les questions suivantes :
La fonction V apparaît comme lien entre la longueur AM  notée x (compris entre 0 et 6) et le volume du pavé hachuré...Sachant que V(0) =0 et que V(6) =0, on peut demander aux élèves de dessiner à main levée une courbe représentative possible pour la fonction V. Les conjectures sur la croissance puis la décroissance de V s'expriment ainsi que l'existence fortement probable d'un maximum au moins.

Affiner la conjecture
On peut affiner la conjecture en faisant afficher les valeurs de x et celles de V(x)
On arrive à conjecturer l'existence d'un maximum (et un seul).

Vers un tracé plus précis
Le tracé à main levée de la courbe représentative de V sur [0 ;6] devient plus clair mais les élèves souhaitent un dessin plus préçis.
Avec Géospace, en pilotant M au clavier ,on voit simultanément l'évolution de la forme du pavé hachuré et  la valeur du volume correspondant.
L'interactivité entre la position de M et le tracé de la courbe est bien illustrée.



Les élèves aimeraient disposer de ce graphique sur leur calculatrice.

Vers une écriture algébrique de V(x)

Il est temps de passer à l'écriture algébrique de V(x) à l'aide de x.
On obtient : V(x) = x2 (6-x) et la courbe peut s'afficher sur chaque calculatrice .
Les élèves peuvent alors conjecturer la valeur de x pour laquelle le maximum est atteint.
Ils peuvent s'aider de leur calculatrice graphique et arrivent à la conjecture suivante :
« Le volume semble maximum quand x = 4 ».

Il s'agit maintenant de prouver cette conjecture en étudiant le signe de V(x)-V(4) quand x appartient à l'intervalle [0 ; 6 ] avec V(x)-V(4) = x2 (6 - x) - 32.

Utilisation d'un logiciel de calcul formel

Le problème est de changer l'écriture de x2(6-x)-32 pour mieux étudier le signe de cette expression. Pour un élève de seconde l'aide d'un logiciel de calcul formel est précieuse.


On peut voir ci-contre, différentes écritures de cette expression  obtenues par TInspire . 
        
Suit un travail de réflexion sur ces différentes écritures : quelle est l'écriture la plus adaptée à l'étude du signe de V(x)-V(4) ?

Les écritures - (x + 2)(x - 4)2  ou (-x - 2)(x - 4)2  vont permettre de résoudre le problème.

On peut donner une situation un peu voisine mais qui se déroule dans le plan.
On retrouvera les mêmes compétences expérimentales avec plus de facilité pour l'élève car il traitera cette activité avec Géoplan ou Géogébra qu'il maîtrise mieux que Géospace.

Choisir une variable et préciser l'intervalle sur lequel elle varie.
Tester des cas particuliers et explorer les cas limite.
Prendre l'initiative de faire afficher les valeurs de la longueur AM et du volume du pavé, de passer à la construction d'un point de coordonnées (x ;V(x)), d'activer la trace d'un point pour parvenir à une courbe.
Affiner une conjecture, tester la robustesse d'une conjecture.
Prendre l'initiative de mobiliser un logiciel de calcul formel pour obtenir une écriture factorisée.