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modélisation d'une tasse à café

mis à jour le 27/05/2020


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Un record du monde : une possibilité de modélisation en mathématiques.

mots clés : volume, solide, modélisation



Compétences mathématiques en lien avec cette activité :
Chercher - Modéliser – Calculer – Raisonner

Descriptif rapide :
Cette activité repose sur l’idée d’un groupe d’employés d’un café américain souhaitant battre le record du monde de la plus grande tasse à café. Les 2 extraits vidéo et les données fournis permettre d’estimer puis de calculer précisément la capacité de cette tasse géante. La manipulation en classe d’une vraie tasse permet de faire des comparaisons, de calculer des proportions et manipuler différentes unités des grandeurs physiques utilisées (capacités, volumes, débits).
 

La problématique de cette activité

Enoncé et consignes donnés aux élèves

Une vidéo (sans parole) de 58 secondes est présentée aux élèves :


Cette vidéo présente la construction d’une tasse à café géante par un groupe d’employés d’un café américain qui souhaitent battre le record du monde de la plus grande tasse à café.
Cette vidéo ne donne pas exactement (dans un premier temps) les dimensions précises de cette immense tasse. De cette vidéo, on peut dégager la problématique suivante :

Mais quelle est la capacité de cette tasse géante ?


Sur la table des élèves, je dépose des tasses à café « normale ».
Cette tasse, dont la forme est très proche de la géante, peut être manipulée, mesurée par les élèves. Une seconde problématique peut être dégagée :

Combien de petites tasses peut-on remplir avec le contenu de la tasse géante ?

Cette problématique est reformulée avec certains élèves :
Combien de petites tasses doit-on vider dans la grande pour la remplir ?



 

Modéliser avec cette activité


Le modèle choisi par les élèves :
La plupart des groupes vont choisir de considérer les deux tasses comme des cylindres parfaits. Cette modélisation a l’avantage de les placer dans un contexte mathématique abordable et leur permettant des calculs (potentiellement) maîtrisés.
Les élèves vont confronter leur modèle avec la démarche d’un professeur de Sciences physiques pour valider ou invalider leur résultat.

Connaissances et compétences du socle commun développées dans cette activité ...
...
Détails des objectifs de la mise en œuvre de l’activité
Proposer cette vidéo et cette activité aux élèves (placés par groupe de 4) avait des objectifs multiples :
  1. Proposer une activité autour de calculs de volumes avec des objets de la vie courante.
  2. Proposer une problématique demandant une prise d’initiative (comment se débrouiller pour estimer, calculer la capacité de la tasse géante que l’on voit en vidéo ? la capacité de la petite tasse que j’ai dans les mains ?) et permettre aux élèves une modélisation mathématique d’un problème concret.
  3. Proposer une activité utilisant les mesures anglo-saxonnes (problème de conversion des pouces, pieds en cm et m…. des gallons en litres….).
  4. Travailler (sans le dire) des situations de proportionnalité.
  5. Proposer un travail d’équipe original.
 

Scénario de mise en œuvre de cette activité


Ce qui a été fait avant

Cette activité, proposée à une classe de 4ème, n’avait pas été précédée de travaux autour des volumes, ni autour de la notion de proportionnalité.
Je m’attendais donc à ce que les formules nécessaires (volume d’un cylindre par exemple) ne soient pas maîtrisées par les élèves.
Mais on peut envisager de proposer cette activité à partir de la classe de 5ème, éventuellement après avoir déjà vu ou revu quelques exercices autour des calculs de volumes et des travaux autour de la proportionnalité.


Déroulement de la séquence (juste le plan, pour la totalité voir la fiche jointe)
  • Temps 1 : temps collectif de 15 minutes – installation + vidéo + problématique + première estimation
  • Temps 2 : temps de recherche en groupe de 25 minutes – ordre de grandeur… 2ème estimation
  • Temps 3 : temps collectif de 10 minutes – au sujet des formules et des estimations
  • Temps 4 : temps de recherche en groupe de 20 minutes – calcul, conversion… 3ème estimation
  • Temps 5 : temps collectif de 10 minutes – au sujet des 3èmes estimations et pour aller plus loin
  • Temps 6 : temps de recherche en groupe de 20 minutes – rédaction finale et prolongement

Ce qui a été fait après : valider ou invalider le modèle
(juste le plan, pour la totalité voir la fiche jointe)
La séance suivante, un collègue de sciences physiques (Mr Patrice Blino – merci Patrice), à qui j’avais parlé de cette activité, est venu en classe pendant quelques instants pour présenter deux autres méthodes expérimentales pour calculer le volume de la petite tasse :
  • Technique A : en utilisant une balance et de l'eau.
  • Technique B : en utilisant une éprouvette graduée et de l'eau.
 

Conclusions autour de la modélisation sur la tasse à café


Le choix par la majorité des élèves (presque tous, en fait) est l’assimilation d’une tasse à un cylindre sans tenir compte du « renflement » à la base de la tasse. Il s’agit bien de retranscrire en un modèle mathématique exploitable. Ce choix effectué, peu de matériels sont nécessaires pour obtenir une estimation (en 4F, la moyenne est de 78 484 tasses) : une formule, une règle et une bonne maitrise du calcul. Néanmoins le modèle « surestime » le volume dans la majorité des groupes. La validité du modèle est donc souhaitable d’où la richesse apportée par le regard d’une autre discipline.
En utilisant une méthode « physique » (utilisation de matériels plus conséquents : une balance et une éprouvette graduée précise), le nombre de tasses est de 84 384. Le modèle « mathématique » s’écarte de 7% de ce modèle « physique ».

Pour des conclusions, sur les apports des outils numériques voir la ressource associée ci-dessous.
 
auteur(s) :

Stéphane Percot, enseignant au lycée Rosa Parks - La Roche sur Yon (85)

information(s) pédagogique(s)

niveau : tous niveaux, Cycle 4, 4ème, 2nde

type pédagogique :

public visé : non précisé

contexte d'usage :

référence aux programmes :

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documents complémentaires

Fichier(s) associé(s)
PDF La fiche complète de l'activité.

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