L’activité en elle-même s’est déroulée en 3 parties.
1) Prise de connaissances du problème (15 minutes)Les élèves prennent connaissance des deux tableaux et sont un peu « impressionnés » par le nombre de calcul à effectuer. Rapidement, certains émettent l’idée d’un tableau de proportionnalité, ce qui semblerait logique.
Très vite cependant, des élèves remarquent qu’il n’y a pas de proportionnalité : pour certains parkings, le doublement du temps ne correspond pas au doublement du prix.
D’autres remarquent que les tarifs peuvent se regrouper. Je leur indique qu’il s’agit en fait de distinguer les parkings « souterrain », des parkings extérieurs type « enclos ».
Un premier bilan sur ces réponses (notamment le tri des données) est effectué et différentes pistes de travail sont établies. Les groupes sont mis en place pour proposer des réponses plus complètes et élaborées.
Modéliser | - Traduire en langage mathématique une situation réelle (à l’aide d’équations, de suites, de fonctions, de configurations géométriques, de graphes, de lois de probabilité, d’outils statistiques).
- Utiliser, comprendre, élaborer une simulation numérique ou géométrique prenant appui sur la modélisation et utilisant un logiciel.
- Valider ou invalider un modèle.
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2) Elaboration de réponsesLes élèves se répartissent en groupe de 3 ou 4 et commencent à chercher l’interpolation.
Une piste est souvent entendue mais abandonnée par tous : plusieurs groupes ont en effet l’idée d’utiliser le taux moyen mais les calculs n’aboutissent pas.
La piste privilégiée : tous les groupes souhaitent visualiser la situation avec un graphique. Il s’agit d’une modélisation à l’aide d’une représentation graphique prémices à l’exploitation de fonctions. Dans de nombreux groupes le problème principal est le suivant : comment combiner les minutes et les heures ? Faut-il faire deux représentations graphiques (ce qu’a fait effectivement un groupe).
Une représentation graphique « acceptable » (si on excepte l’absence de titre et d’indication d’unités sur les axes).
Un autre groupe propose deux nuages de points différents :
Pour les minutes :
Pour les heures (avec problème pour placer 11h…). Ce choix peut se justifier car parfois la proportionnalité est établie. Par exemple pour les parkings « Baco 1&2 » entre 1h et 3h.
On peut remarquer que pour tous les groupes :
- Ils ne vont pas s’en servir pour « justifier » l’emploi ou non d’un ajustement affine.
- Seulement 2 groupes vont utiliser spontanément les ordinateurs et le tableur. Il s’agit donc d’élaborer une simulation numérique et utiliser un tableur.
Les groupes souhaitent maintenant trouver une réponse plus précise à partir du nuage de points donnés, il modélise la situation à l’aide d’un outil statistique : un ajustement par la méthode des moindres carrés.
L’ajustement affine tient compte le plus souvent de tous les points :
3) Bilan et perspectivesLe bilan reprend les différentes méthodes utilisées. Je soulève néanmoins quelques questions :
- Pourquoi n’ont-ils pas « poussé » la méthode utilisant un taux moyen (progression géométrique) ?
- Un autre modèle donnerait une autre réponse. Quelle est la meilleure ?
Si les élèves s’accordent sur le fait que la simulation numérique est intéressante, ils ont des difficultés à percevoir si le modèle est correct ou non.
Le bilan va donc porter sur la validité des choix effectués, notamment comment valider ou invalider un modèle. Le cas des parkings relais va être particulièrement étudié lors de ce bilan – le nuage de points ne permettant pas de « supposer » un ajustement affine.