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l'atelier scientifique et technique des polyèdres, un projet pluridisciplinaire

mis à jour le 01/10/2012


polyedre.jpg

Au collège de Craon en Mayenne, les mathématiques ont pris une consistance matérielle pendant "l'atelier des polyèdres" animé par un enseignant de Mathématique et un enseignant de technologie en collaboration avec un chercheur de l'université de Rennes. Les élèves ont présenté leur travail au concours national C.Génial 2012 et ont reçu un premier prix, le Prix d'entreprise/Saint-Gobain ISOVER.
L'atelier trouve un prolongement en deuxième année. La famille des polyèdres sera complétée par des polyèdres semi-réguliers.Tous les solides construits seront exposés en fin d'année en collaboration avec la professeure d'arts plastiques .

mots clés : concours scientifiques, mathématiques, technologie, atelier, pluridisciplinaire


"A la découverte des polyèdres . . ."


Responsable de l'atelier scientifique : M Geslin, enseignant de mathématiques
Collaboration scientifique : M Prudhomme, enseignant de technologie
Partenaire extérieur : M Rosard, enseignant-chercheur en mathématiques à
l'université de Rennes 1.
 

Objectifs


Cette année au collège Volney de Craon (53), 9 élèves de 5ème générale et 1 élève de 5ème SEGPA se sont réunis tous les jeudi de 13 à 14 h pour participer à un atelier sur le thème des polyèdres réguliers.
L'objectif principal est de faire suivre aux élèves une démarche d'investigation complète sur un sujet initié par leur propre questionnement.
C'est dans l'esprit des programmes qu'a été initié cet atelier.
De nombreux autres objectifs sont visés : faire preuve de civisme (engagement à l'année, ponctualité, ranger le matériel,...), travailler en groupe, travailler avec soin et patience, travailler des compétences informatiques, travailler la présentation orale, etc....
 

Déroulé de l'atelier


1 - Le choix d'une situation - problème.
En sixième, lors du travail sur les angles, les élèves ont découvert la notion de polygone régulier (côté de même longueur, angle de même mesure, inscriptible dans un cercle).

Construction de polygones réguliers

polyedres

En constatant que des solides dont les faces sont des polygones existent, de nombreuses questions sont apparues :
  • Combien de polyèdres peut-on faire avec des triangles ? des carrés ?
  • Peut-on en faire avec des pentagones ? des hexagones ?
  • Peut-on en faire en mélangeant les formes ?
  • Les faces doivent-elles être régulières ?
    Etc....

Une situation-problème s'est donc imposée : Combien de polyèdres existe-t-il ?

 
2 - L'appropriation du problème par les élèves.
Après une présentation de la situation-problème, les élèves ont fait le point sur le vocabulaire en jeu ( sommet, face, arête, polygone, polyèdre, ...) puis à partir de l'analyse du plus commun d'entre eux (le cube), ils ont relevé toutes les caractéristiques d'un polyèdre régulier : Il possède des faces semblables (identiques), ces faces doivent être régulières (tous les côtés sont égaux, tous les angles sont égaux : c'est bien le cas des faces carrées du cube), à partir de chaque sommet, il y a un même nombre de faces.
 
3 - La formulation de conjectures, d'hypothèses explicatives, de protocoles possibles.
L'investigation ou la résolution du problème est conduite par les élèves avec un échange argumenté autour des propositions élaborées.
La première technique utilisée pour faire les essais a été d'utiliser des connecteurs souples et des tiges de différentes longueurs.

Exemples de tiges et connecteurs souples:

Dans un premier temps, ils ont cherché des solides autres que le cube avec des faces carrées. Quelques essais et échanges ont permis aux élèves de comprendre rapidement qu'il n'existe pas d'autres solides n'ayant que des faces carrées.
Ensuite, ils ont cherché à faire des solides avec des faces régulières à 3 côtés, c'est-à-dire des triangles équilatéraux.

Triangle équilatéral:

Chaque solide créé a été soumis à l'analyse de l'ensemble du groupe et était décrété comme polyèdre régulier ou non. A partir de ce travail, les élèves ont découvert 3 nouveaux polyèdres réguliers : le tétraèdre (4 faces), l'octaèdre (8 faces) et l'icosaèdre (20 faces).
A chaque découverte, je donnais le nom du polyèdre et les élèves devaient chercher des informations sur ce polyèdre pour la séance suivante.

Pour poursuivre la recherche, les élèves ont essayé de faire des solides avec des faces régulières à 5 côtés, c'est-à-dire des pentagones réguliers.
La construction d'un pentagone « restant » régulier n'étant pas simple avec le matériel utilisé ( connecteur souple et tige), je les ai relancé sur la construction du cube et donc de face carrée avec ses mêmes connecteurs souples et tiges.
Les élèves ont ainsi proposé de construire la diagonale du carré pour rendre ses angles indéformables. En effet, ils ont fait le lien avec le cours de technologie où lors d'une séquence sur la stabilisation des structures, ils ont découvert le principe de la triangulation en construisant des maquettes.
En observant certains ponts, ils ont constaté que la triangulation était bien utilisée dans la construction d'ouvrage (ponts).

Exemple de construction de pont par des élèves.

 

Pont de Garabit

Le calcul de la longueur de la diagonale d'un carré n'étant pas de leur niveau, ils ont simplement fait plusieurs essais afin d'obtenir la diagonale la plus précise possible.
Triangulation du carré pour construire un cube
 
Ce principe étant acquis, ils ont alors pu construire un pentagone régulier en le « triangulant ».
Mais ensuite les essais pour obtenir un solide constitué uniquement de pentagones n'ont pas abouti. La recherche a donc été gelée.

Les élèves ont alors commencé à travailler avec une autre technique : construire les différents polyèdres en traçant leur patron.
Ce travail exige soin, concentration, rigueur et précision.
Première étape : le traçage de patron du cube est simple mais nécessite d'être fait avec précision pour que le cube obtenu soit esthétiquement satisfaisant.
La construction nécessite ensuite un découpage soigné, un pliage des arêtes précis puis enfin un collage méticuleux.
Plusieurs formes de patrons sont apparus. Ils se sont demandés combien de formes de patrons différentes peuvent fonctionner.

Exemples de patrons de cube construits par les élèves :
Deuxième étape : de la même façon, les élèves ont ensuite tracé des patrons de tétraèdre, d'octaèdre et d'icosaèdre afin d'en construire.
A partir de l'observation des polyèdres, ils ont cherché les formes de patrons possibles et ont ensuite, en essayant de les assembler, pu valider l'exactitude de leurs patrons. Il y a donc eu de « vrais » patrons et de « faux » patrons de dessiner.
Exemples de patrons de tétraèdre, d'octaèdre et d'icosaèdre construits par les élèves :

Troisième étape : plusieurs élèves ont cherché comment tracer des pentagones réguliers pour pouvoir relancer la recherche d'un polyèdre régulier à face pentagonale. En menant en parallèle une recherche documentaire, ils ont découvert qu'il existe bien un tel polyèdre : le dodécaèdre (12 faces).Ils ont alors essayé de tracer un patron constitué de 12 faces pentagonales : construction élaborée nécessitant un travail sur les angles intéressant. La construction étant relativement difficile, les recherches ont été de nouveau gelées.

 
4 - L'acquisition et la structuration des connaissances
A ce moment-là de l'atelier, la préparation de la manifestation « Exposciences » a commencé à se faire.
Les élèves se sont regroupés en binôme afin de constituer 5 groupes. Chaque groupe devait produire un panneau présentant un polyèdre.
L'étude de textes traitant des polyèdres réguliers a permis aux élèves d'apprendre que ces polyèdres réguliers sont appelés les solides de Platon en référence au mathématicien grec qui les décrivit dans « Le timée » et avait associé chacun d'eux à un des cinq éléments fondamentaux ( l'eau, l'air, le feu, la terre et l'Univers).
Les élèves ont également pu apprendre que c'est Euclide qui expliqua, un siècle plus tard, pourquoi il ne pouvait y avoir que 5 polyèdres réguliers dans son oeuvre majeure « Les éléments ». Ils ont aussi découvert lors de cette recherche le nombre de patrons possibles pour chaque polyèdre.
Sites internet consultés :
« mathématique magiques « http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/
http://fr.wikipedia.org/

Les panneaux de présentation étant faits, les élèves ont alors poursuivi le travail avec une nouvelle technique :
A partir du livre « L'atelier des polyèdres » de Michèle MINGUIN-DEBRAY (Édition ACL-Les éditions du kangourou), on a étudié une autre technique de construction des polyèdres : en construisant des cornières représentant les arêtes, on peut visualiser, les faces, les arêtes et les sommets tout en laissant le regard passer à travers le polyèdre.
 
Exemples de construction de polyèdres avec des cornières

image AST Craon


 

Valorisation de l'atelier - participation à « Exposciences » et au concours« C-génial »

Un des objectifs de l'atelier était de le valoriser en permettant aux élèves de présenter le résultat de leur travail, de faire un point sur les connaissances acquises et d'intéresser d'autres personnes à l'étude des polyèdres.
La manifestation « exposciences-Mayenne » a été l'occasion idéale de réaliser tous ces objectifs. Les élèves ont pu pendant 4 jours tenir un stand où leurs panneaux de présentation étaient affichés et leurs constructions étaient présentées.

Ils ont donc présenté leurs travaux à un public nombreux et varié mais ils ont également au travers de petits ateliers cherché à rendre actif le public.
C'est à cette occasion que M Rosard, enseignant-chercheur à l'université de Rennes 1 qui soutient l'atelier, nous a rendu visite.
.
Après la remises des prix où les élèves de l'atelier ont reçu le premier prix de de la créativité et de l'innovation, M Rosard nous a expliqué son travail sur la théorie des jeux et s'est proposé de venir faire une conférence au collège en fin d'année.
Il a indiqué aux élèves que de nombreux jeux de société se jouent avec des dés polyédriques. L'avantage de ces dés est qu'ils ont comme le cube une probabilité égale que chaque face apparaisse lors d'un lancé et que l'on peut faire ainsi des dés de 4, 6, 8, 12 ou 20 faces.
Pour donner une suite à notre travail, nous avons alors eu l'idée d'inventer un jeu qui se joue à l'aide de ces 5 dés et qui pourrait servir d'introduction à la conférence.
Nous avons demandé aux élèves de modéliser, à l'aide d'un logiciel (solid works), ces polyèdres. L'objectif étant d'essayer de comprendre comment on peut les créer et les réaliser pour les produire.
Trois élèves du groupe ont pendant plusieurs séances travailler à la création des polyèdres sur le logiciel. Leur maîtrise du logiciel a permis de créer facilement un cube, mais la création des autres polyèdres est moins facile. Ils ont alors essayé de créer un tétraèdre, puis un octaèdre en partant d'un cube et en faisant des
sections planes.
Après de nombreux essais sur des cubes en polystyrène, la procédure à suivre est alors apparue puis ils ont mis en oeuvre cette technique pour créer le tétraèdre et l'octaèdre sur le logiciel.

Construction du tétraèdre et de l'octaèdre à partir du cube :
Nous avons alors contacté des collègues du lycée Reaumur de Laval pour faire réaliser nos premiers prototypes à l'aide d'une imprimante 3d.
En observant ces prototypes, nous avons fait une liste des éléments négatifs : octaèdre trop petit,
cube trop gros, arêtes trop saillantes, ...
Nous avons alors défini précisément les contraintes à respecter : esthétique, ergonomique, c'est-àdire : facilité de lecture (taille de la police), prise en main ( volume de chacun des dés + arêtes arrondies) , ordre de numérotation des faces ( règle du jeu ) Nous avons à partir de ces contraintes faits des choix . . .
Comme les vacances scolaires de printemps débutaient et que l'on souhaitait faire de nouveaux prototypes puis faire construire ces dés par la société « impression-3d.com », l'enseignant de technologie a réalisé l'icosaèdre (arête de 12,98 mm) puis le dodécaèdre (arête de 7 mm)
 

Bilan

Le déroulement de cet atelier a été pleinement satisfaisant. Les élèves ont été motivés, inventifs et persévérants. Ils ont compris que de simples essais ne
suffisent pas à une démarche scientifique complète, mais qu'un travail d'analyse et de recherche était nécessaire en complément. Ils ont également mené un travail mathématiques riche en utilisant des connaissances vues en cours dans cet atelier qu'ils envisageaient, je pense, comme une simple distraction artistique.
Ils sont donc aller au-delà des constructions et des manipulations pour structurer des connaissances qu'ils sont désormais capables de faire partager.
Leurs questions sont toujours très nombreuses. Ils s'intéressent notamment à la structure du ballon de foot (polyèdre semi-régulier) dont ils ont fait de la réalisation un des objectifs pour la fin de l'année.
Les échanges avec M Rosard ont également ouvert de nombreuses pistes d'exploration : création des polyèdres en 3D, création de jeux, ... que nous allons poursuivre jusqu'à la fin de l'année.
On envisage d'ailleurs de poursuivre l'année prochaine (2012-2013) l'atelier avec le soutien de M Rosard et de se laisser ainsi le temps de travailler sur les nouvelles pistes évoquées.
 
auteur(s) :

Cyril Geslin, enseignant (mathématiques)

information(s) pédagogique(s)

niveau : 5ème, Collèges tous niveaux

type pédagogique : analyse de pratique, démarche pédagogique, production d'élève

public visé : enseignant

contexte d'usage : atelier

référence aux programmes : Extraits des programmes de l'enseignement des mathématiques et de technologie au collège -
Bulletin officiel spécial n° 6 du 28 août 2008 :

ressource(s) principale(s)

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