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découverte de la convexité en terminale spécialité

mis à jour le 29/04/2022

Cette activité permet aux élèves de construire en autonomie le concept de convexité à travers des exemples.

mots clés : labo maths, convexité

Les objectifs

Travailler en autonomie
Réactiver les notions de variations d’une fonction, de fonction dérivée, de tangentes à une courbe
Construire des représentations du concept de convexité
Aboutir à une méthode efficace et pérenne pour étudier la convextié d’une fonction Stratégie utilisée pour présenter la situation aux élèves
Enoncé distribué à chaque élève (voir en pièce jointe)

Eléments de mise en œuvre

Aucun travail préalable sur cette notion n’a été fait.
La séance dure environ une heure, en classe entière.
Les élèves travaillent seuls, en autonomie.
L’exercice final est à finir ou à traiter à la maison.
Le travail à la maison demandé est le suivant : rédiger sur une feuille simple sa propre trace de cours sur le thème « CONVEXITÉ D’UNE FONCTION ».
Cette trace est à remettre au professeur pour validation.
Une trace de cours d’un(e) élève est ensuite choisie collectivement pour être mise en ligne et accessible à tous.

Le TP découverte de la convexité en terminale spécialité

I – Vocabulaire

Observer les 5 graphiques ci-dessous

A faire vous-même 1

Pour les 3 courbes suivantes, dire si elles sont convexes ou concaves et préciser sur quels intervalles.
Possèdent-elles des points d’inflexion ? Lesquels ?

II – Vitesse de croissance

A faire vous-même 2

Reprenons plus en détail la fonction carrée et la fonction racine carrée.
Pour chacune d’entre elle, compléter les tableaux ci-dessous qui mettront en évidence les écarts entre les images de deux nombres x espacés de 1 unité ( f (1) - f (0) ; f (2) - f (1) ; etc)
Compléter alors les phrases inscrites sous les courbes.

Pour le tableau ci-dessou, donner des valeurs approchées au besoin.

III – Lien entre convexité et dérivation

Toujours pour la fonction carrée f (x) = x² et la fonction racine carrée

, nous allons maintenant observer les nombres dérivés de ces fonctions en différents points.

A faire vous-même 3
Compléter le tableau suivant

Sur le graphique ci-dessous, tracer alors les 5 tangentes aux points d’abscisses -3 ; -1 ; 0 ; 1 et 2

A faire vous-même 4

Compléter le tableau suivant

Voici la représentation graphique de g et de ses tangentes aux points d’abscisses 0,5 ; 4 et 9

Pour visualiser cette conclusion, flasher le code ci-contre :

https://youtu.be/6SMG4o2EoGY

Théorème 1 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors :

f convexe sur I équivaut à f ’ croissante sur I
f concave sur I équivaut à f ’ décroissante sur I
la courbe représentative de f possède un point d’inflexion au point d’abscisse a équivaut à f ’ change de variation en a

A faire vous-même 5

Nous venons donc de voir que pour étudier la convexité d’une fonction f, il fallait étudier les variations de la fonction f ’. Or nous savons que pour étudier les variations d’une fonction, il faut étudier le signe de sa fonction dérivée (cours de première). Il s’agit donc ici de déterminer la fonction dérivée de la fonction f ’, notée f ’’ et appelée dérivée seconde de la fonction f , et d’en déterminer son signe.

Théorème 2 :
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I. Alors :

f convexe sur I équivaut à f ’’positive sur I
f concave sur I équivaut à f ’’ négative sur I
la courbe représentative de f possède un point d’inflexion au point d’abscisse a équivaut à f ’’ s’annule et change de signe en a

Remarque :

Si f est convexe sur I, alors sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes et en-dessous de ses sécantes sur I, et réciproquement.
Si f est concave sur I, alors sa courbe représentative est en-dessous de ses tangentes et au-dessus de ses sécantes sur I, et réciproquement.