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algorithme et programmation - analyse

mis à jour le 21/06/2019

Des exemples pour l'agorithmique et la programmation en 1ère.

mots clés : algorithmique, analyse, euler, newton

L’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement le dialogue entre l’observation et la démonstration et change profondément la nature de l’enseignement .

L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes ainsi traités doivent être en relation avec les autres parties du programme (fonctions, géométrie, statistiques et probabilité, logique) mais aussi avec les autres disciplines ou la vie courante.
À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et de petits programmes, il convient de transmettre aux élèves l’exigence d’exactitude et de rigueur, et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle. En programmant, les élèves revisitent les notions de variables et de fonctions sous une forme différente.

Dans les programmes :

Dérivation : écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.
Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée du nombre \(e\) à l’aide de la suite \((1+\frac1{n})^n\)

Nombre et calculs

Dérivation

En ce qui concerne la liste des coefficients directeurs des sécantes à partir du calcul des coefficients directeurs \(\frac{f(x+h)-f(x)}h\) (avec \(h\neq0\)), deux fonctions sont proposées : par valeurs inférieures puis par valeur supérieure. L’exemple est donné à partir de la fonction f définie sur IR par \(f(x)=3x^2-2x+1\). Le paramètre « etape » permet de définir le pas (\(pas=\frac1{etape}\)) et donne le nombre de termes de la liste à renvoyer.
Deux programmes sont proposés pour la méthode de Newton-Raphson

Avec une fonction du second degré où les solutions peuvent être retrouvées algébriquement.
Avec une fonction de degré 3 : \(f(x)=0\) a trois solutions sur\(\lbrack-5;5\rbrack\).
La méthode de Nexton-Raphson converge plus rapidement que la méthode de dichotomie.
Pour la fonction exponentielle, les programmes sont présentés suivant plusieurs méthodes
1. Valeur approchée d’exponentielle de 1, le nombre d’étapes est en argument.
2. Valeur approchée d’une valeur choisie et du nombre d’étapes en argument :
  soit par une méthode pas à pas (Méthode d’Euler – fonction exp )
  soit en remarquant la suite géométrique associée ( fonction exp2 )
  on peut aussi préciser la vitesse d’avancement : lorsque la différence de deux valeurs calculées est inférieure à la "vitesse" d’avancement, le programme s’arrête et renvoie la dernière valeur calculée ainsi que le nombre d’étapes nécessaires.
3. Un exemple de construction de la courbe exponentielle par la méthode d’Euler sur \(\lbrack-1;1\rbrack\).

information(s) pédagogique(s)

niveau : tous niveaux, 1ère

type pédagogique :

public visé : non précisé

contexte d'usage :

référence aux programmes :

documents complémentaires

Fichiers associés

Newton Raphson degré 2

Newton Raphson degré 3

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