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introduction du pgcd et de l'algorithme d'euclide

mis à jour le 04/04/2017


spé maths

Poser du carrelage pour motiver l'introduction de l'outil PGCD.

mots clés : algorithme, spé maths, enseignement spécifique, euclide, pgcd, division euclidienne


L'objectif est multiple : partir d'une situation concrète (poser du carrelage) pour motiver l'introduction de l'outil PGCD, de visualiser géométriquement le principe de l'algorithme d'Euclide et de le comprendre, puis de le reconstruire sans illustration géométrique pour le retenir.

Introduction du PGCD et de l'algorithme d'Euclide



L'objectif est multiple : partir d'une situation concrète pour motiver l'introduction de l'outil PGCD, de visualiser géométriquement le principe de l'algorithme d'Euclide et de le comprendre, puis de le reconstruire sans illustration géométrique pour le retenir. La durée estimée de l'activité est de 30minutes.

Afin de carreler un sol, les artisans disposent souvent de carreaux de faïence en forme de carré tous identiques.On observe alors bien souvent un phénomène qui se produit auprès des plinthes :les dimensions des carreaux ne permettant pas un pavage ''exact'', des carreaux sont découpés pour carreler le sol jusqu'au bout.

Le problème est le suivant : comment choisir les dimensions du carreau afin de satisfaire aux conditions suivantes :
  • les carreaux doivent paver ''parfaitement'' le sol (sans découpe) ;
  • la taille du carreau doit être maximale.





 
a/ La méthode en modèle réduit

On considère un rectangle R0 de dimensions a0 = 21 et b0 = 15.

1.a. Dans ce rectangle R0, combien de carré(s) de côté b0 = 15 peut-on inscrire ? Le(s) tracer.
b. Écrire la division euclidienne de a0 par b0.
Il reste alors un rectangle R1 de dimensions a1 = 15 et b1 = ?

2.a. Que vaut b1 ?
b. Dans ce rectangle R1, combien de carré(s) de côté b1 peut-on inscrire ? Le(s) tracer.
c. Écrire la division euclidienne de a1 par b1.

3.a. Poursuivre le processus jusqu'au rang où il ne reste plusde rectangle à paver par des carrés.
b. Quelle est alors la taille du carreau final ?
Que représente cette valeur par rapport à 21 et 15 ?



 
b/ Sans schéma

4. Sans schéma, déterminer la taille du carreau final en n'utilisant que les divisions euclidiennes successives afin de paverun rectangle de dimensions a0 = 66 et b0 = 24.
Vérifier que la valeur obtenue satisfait bien à la remarque effectuée à la question 3.b.

5. L'artisan doit carreler le sol d'une cuisine de dimensions 4,48 x 6,24 m2. Quelle taille de carreaux doit-il commander ?

 
auteur(s) :

petite fabrique du maine et loire

information(s) pédagogique(s)

niveau : tous niveaux

type pédagogique :

public visé : non précisé

contexte d'usage :

référence aux programmes :

documents complémentaires

PDF la fiche présentant l'activité.

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