mathématiques

Le but est d'étudier la trajectoire d'un corps soumis à une force d'attraction, par exemple une planète ou une comète soumise à l'attraction du Soleil ou un satellite artificiel soumis à l'attraction de la Terre. Pour la présentation de l'exemple ci-dessous, on prendra une comète et le Soleil. (la variété des orbites de comètes est beaucoup plus grande que celle des planètes). On pourra découvrir ainsi tous les cas d'orbites, solutions du problème des deux corps.

La méthode consiste à utiliser un tableur et procéder un peu comme avait pu le faire Newton pour établir la loi de gravitation universelle. Cette méthode est une façon de rechercher "expérimentalement" des solutions à une équation différentielle. Elle permet en outre de se familiariser avec l'usage des représentations paramétriques des courbes planes et l'interprétation cinématique (vecteur vitesse et vecteur accélération).

Le Soleil occupe le point de coordonnées ( 0 ; 0 ). Il est considéré comme fixe.

A l'instant t, la comète aura comme coordonnées (x(t);y(t)), le vecteur vitesse aura pour coordonnées (x'(t); y'(t)) et le vecteur accélération aura pour coordonnées (x"(t);y"(t)).

On connait la position et la vitesse de la comète à l'instant 0.

Supposons par exemple que la comète occupe la position A de cordonnées ( x(0)=10 ; y(0)=0) et que sa vitesse ait pour coordonnées ( x'(0)= 0 ; y'(0) = 11) .

Choisissons un petit intervalle de temps h (par exemple h = 0,0002)( Cette valeur est le "pas")

Supposons la vitesse constante pendant la durée h. Alors à l'instant h la comète occupe le point de coordonnées (x(h) ; y(h) )

avec x(h) = x(0) + h x'(0) et y(h) = y(0) + h y' (0).

La comète est soumise à l'attraction du Soleil. Cette force va modifier la vitesse de la comète. L'accélération à laquelle est soumise la comète a une intensité de la forme k/d² où k est une constante qui dépend de la masse du Soleil et de la constante de gravitation universelle et où d est la distance OM. ( d² = x² + y² ) On fixe arbitrairement la constante, par exemple k = 1500.

Cette accélération est dirigée vers le Soleil, donc les coordonnées de cette accélération sont (x";y")

avec x"(0) = (k/d²)(-x/d) et y " (0)= (k/d²)(-y/d) )

La nouvelle vitesse de la comète a pour coordonnées( x'(h) ; y'(h)) avec

x'(h) peu différent de x'(0) + x"(0)h et y'(h) peu différent de y'(0) + y"(0)h

On a ainsi trouvé la position et la vitesse de la comète à l'instant h.

Ilsuffit de recommencer.

Le tableur va permettre de choisir un "pas" assez petit ( dans l'exemple ci dessous on a h = 0,0002) et d'effectuer un très grand nombre de calculs.

x	y	x'	y'	x''	y''	k/d²
10	0	0	11	-15	0	15
10	0,0022	-0,003	11	-14,99999891	-0,0033	14,99999927
9,9999994	0,0044	-0,006	10,99999934	-14,99999744	-0,006599999	14,9999989
9,9999982	0,0066	-0,008999999	10,99999802	-14,9999956	-0,009899999	14,99999887
9,9999964	0,008799999	-0,011999998	10,99999604	-14,99999338	-0,013199998	14,99999918
9,999994	0,010999999	-0,014999997	10,9999934	-14,99999077	-0,016499998	14,99999985

Les calculs étant constitués d'approximations successives, on s'interessera surtout à l'aspect qualitatif des différents résultats obtenus en faisant varier la vitesse initiale. ( Ces résultats n'étant pas les mêmes quand on change la valeur du pas).

Le tableur va permettre ensuite de tracer la trajectoire de la comète.

En faisant varier la vitesse initiale on peut découvrir les trajectoires elliptiques, circulaires, paraboliques et hyperboliques.

On fera la distinction entre le cas où la comète passe assez près du Soleil pour se trouver ré-ejectée vers l'extérieur du système solaire et le cas où la comète passe assez loin du Soleil pour ne pas être satellisée et quitter également le système solaire.

Le même principe peut être utilisé pour étudier le problème des 3 corps (par exemple le cas d'une sonde spatiale qui quitte la Terre et est soumise à l'attraction de la Terre et du Soleil ou bien le cas d'une sonde qui se déplace dans le système (Terre-Lune)