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Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore

mis à jour le 25/09/2007


Pythagore.jpg

Très souvent, lorsqu'il est demandé si un triangle, donné par la mesure de ses trois côtés, est rectangle, l'élève remplace les mesures des côtés par leurs valeurs dans une égalité de la forme : AB2 + AC2 = BC2 ce qui conduit à des égalités auxquelles on ne peut pas donner de sens au collège, ne disposant pas de l'équivalence.

Les élèves font souvent la confusion entre réciproque et contraposée (que le nom soit utilisé ou non).

mots clés : pythagre, réciproque, contraposée, tableur

Constat

Très souvent, lorsqu'il est demandé si un triangle, donné par la mesure de ses trois côtés, est rectangle, l'élève remplace les mesures des côtés par leurs valeurs dans une égalité de la forme : AB2 + AC2 = BC2 ce qui conduit à des égalités auxquelles on ne peut pas donner de sens au collège, ne disposant pas de l'équivalence.

Les élèves font souvent la confusion entre réciproque et contraposée (que le nom soit utilisé ou non).

Objectifs

Aider l'élève à répondre à la question : " Ce triangle est-il rectangle ? " et lui fournir une aide à la démonstration.
 

Compétences mathématiques visées


  • Permettre à l'élève d'élaborer une méthode (calcul de chaque membre, puis réponse à la question).
  • En vue de poursuite d'étude en mathématiques donner à l'élève la possibilité d'acquérir la rigueur dans son raisonnement en distinguant : théorème, réciproque et contraposée (le mot n'est pas prononcé).

Apport du tableur dans cette activité


  • Feuille de calcul Rectangle ou non.
  • Initier les élèves à l'esprit algorithmique.
  • Utiliser la fonction SI du tableur pour analyser si un triangle est rectangle ou non, et lui donner une aide dans la rédaction.
  • Feuilles de calcul Théorème ou Réciproque et Aide.
  • Permettre un travail autonome de l'élève qui n'est pas en difficulté sur la première feuille de calcul.
 

Travail demandé à partir du fichier excel : " Pythagore "

Feuille de calcul Rectangle ou non


  • Préliminaire : [BC] étant le plus grand côté, les élèves doivent être persuadés avant de faire les calculs que la seule question à se poser est : le triangle est-il rectangle en A ?
  • L'élève programmera les cellules B12 et B13, puis les recopiera vers la droite. L'observation du tableau lui permet alors de répondre à la question.
  • La programmation de la cellule B14 (qui sera ensuite recopiée vers la droite) lui permettra de mettre en place l'algorithme suivant :
SI " Il y a égalité "
ALORS " Le triangle est rectangle en A "
SINON " Le triangle n'est pas rectangle "
On donnera aux élèves la syntaxe de la fonction SI : =si(test_logique;valeur_si_vrai;valeur_si_non),
ainsi la cellule B14 sera programmée par : =si(B12=B13;VRAI;FAUX)


Feuilles de calcul : Théorème ou Réciproque et Aide


  • Le travail demandé sur la feuille de calcul Théorème ou Réciproque peut ne concerner que les élèves qui ne sont pas en difficulté.
  • Le tableur n'apporte rien d'autre à l'élève que la possibilité d'un travail autonome lui permettant de tester ses connaissances.
  • Sur la feuille de calcul Théorème ou Réciproque l'élève va devoir répondre aux questions :  " Le triangle donné est-il rectangle ou non ? ", si oui " En quel sommet ? ", et dans tous les cas il devra dire s'il justifie sa réponse par le théorème ou par la réciproque. Ce travail ne peut être fructueux que si, en cas d'erreur, l'élève retourne vers le cours.
  • En cas d'erreur à la dernière question l'élève est invité à consulter les aides de la feuille de calcul Aide. Cette feuille d'aide peut être supprimée et l'on peut demander alors à l'élève de travailler avec les documents en sa possession, cours par exemple.

 
auteur(s) :

Gilles Bouron

information(s) pédagogique(s)

niveau : 4ème, 3ème

type pédagogique : non précisé

public visé : élève

contexte d'usage : salle multimedia

référence aux programmes :

documents complémentaires

Le fichier pour tableur
    La feuille de calcul au format Excel.

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