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des contre-exemples au collège

mis à jour le 17/06/2018


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A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?

mots clés : contre-exemple


Cette ressource fait suite à une ressource plus globale
pourquoi travailler des contre-exemples en classe ? - tous niveaux08/06/2018
A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?
contre-exemple
 

Arithmétique

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.
  • N2+N+41 est premier pour tout entier N naturel. Cela fonctionne pour N<40

  • 2N2+29 idem pour N<29 (http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html)
     
  • Un nombre divisible par 3 est forcément impair.
     
  • Un nombre qui se termine par 3 est divisible par 3.
     
  • Un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 7 est divisible par 7.
     
  • 3 est-il un nombre ?
     
  • Réfuter un critère de divisibilité tentant.
    « Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, c’est-à-dire s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8».
    Lorsqu’on demande alors un critère de divisibilité par 3, on obtient parfois (pour ne pas dire souvent) :
    « Un nombre est divisible par 3 s’il est impair »
    ou encore « Un nombre est divisible par 3 s’il se termine par 3 ; 6  ou 9 ».

    Dans ces deux propositions, un contre-exemple suffit pour montrer que cela ne convient pas :
    « Essayons avec 13 » …
     
  • Quels sont les diviseurs de 60 ?
    On a 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 qui marchent.
    Quel est le suivant ? la valeur 7 est tentante, mais un test rapide permettra de vérifier que cela ne convient pas.
 
 

Calcul numérique

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.
  • 23 = 2 000
    On rencontre de fréquentes confusions entre 23 et 2×103 par exemple.
    Le retour à la définition permet de corriger cette erreur de représentation dans le calcul avec les puissances.
     
  • Si on a n2=9 alors n=3.
    Un retour (et donc une anticipation) sur la règle des signes permet de vérifier que -32=9 et donc que -3 convient aussi.
     
  • Calcul fractionnaire : 12+14=26
    Si ce calcul pose problème à bon nombre d’élèves en dehors de tout contexte, chaque élève sait calculer :
        Un demi gâteau + un quart de gâteau
        Une demi-heure + un quart d’heure

    Par ailleurs, la mise en mots donne des contre-exemples facilement exploitables :
        2 dixièmes + 4 dixièmes = 6 dixièmes.
        2 cinquièmes + 4 dixièmes = ?

        2 fruits + 4 fruits = 6 fruits
        2 pommes + 4 poires = ?
 

Géométrie


Les quadrilatères
  • Comment appelle-t-on un quadrilatère ayant 4 côtés de la même longueur ?
    Il y a fort à parier que beaucoup d’élèves répondront « un carré » !
    Une figure de losange suffit à contredire cette affirmation.
     
  • Comment appelle-t-on un quadrilatère ayant les diagonales perpendiculaires ?
    Là encore, on peut avoir carré ou losange.
     
 

  • Un quadrilatère ayant 3 côtés égaux est-il toujours un losange ?
 
 
  • Un carré n’est pas un rectangle.


Si je double la longueur d’un solide son volume est multiplié par 2. (exemple maths/sciences sur le « meilleur pâtissier »)

Milieu ou pas milieu ?
I est le milieu de [AB] => IA = IB mais IA=IB => I appartient à la médiatrice de [AB] et non I est le milieu de [AB]
 
Transformations : voir des transformations non isométriques
     Projection stéréographique (https://thetruesize.com) orthogonale.
     Ci-dessous l'image d'une droite par rapport au point O, intersection du segment reliant le point M dont on cherche l'image au centre d'un cercle avec le cercle...
Droites parallèles, droites sécantes dans le plan
Les élèves qui arrivent en 6e ont en générale une vision incomplète, voire erronée, de ce que sont deux droites parallèles.
  • Droites sécantes : deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun, et un seul.
  • Droites parallèles : deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne sont pas sécantes.
     
C’est bien la négation des droites sécantes qui définit les droites parallèles. Il s’agit donc de préciser ce qu’est « le contraire de 1 et 1 seul ».
On travaille sur les nombres entiers positifs, on aura donc 0 ou plusieurs. Ce qui donnera les droites strictement parallèles (généralement celles que les élèves connaissent à l’arrivée au collège) et aussi les droites confondues.

La situation des droites confondues présente d’ailleurs une difficulté : montrer, comprendre, se représenter que dès qu’il y a deux points communs, alors tous les points sont communs.
 

Proportionnalité

Si on ne travaille que sur des tableaux de proportionnalité, alors pour les élèves tous les tableaux sont des tableaux de proportionnalité. Il est donc important et essentiel d’aborder très tôt des tableaux de non-proportionnalité.
 

Calcul littéral

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.
  • 3x<7x pour tout x réel
  • Si x<3 alors x2<9
  • a+b=a+b

Affirmation 1 de la question 4 de l'exercice 5 du brevet des collèges (métropole - juin 2018)
 

Statistiques

  • Augmentation successives de pourcentages
  • Histogrammes à pas non constant
  • Médianes/moyennes
     
 

Fonctions

  • Pour comprendre ce qu’est une fonction il faut avoir vu des exemples de non-fonction, un cercle par exemple
 

information(s) pédagogique(s)

niveau : tous niveaux

type pédagogique :

public visé : non précisé

contexte d'usage :

référence aux programmes :

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