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des contre-exemples au lycée

mis à jour le 17/06/2018

A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?

Cette ressource fait suite à une ressource plus globale

	pourquoi travailler des contre-exemples en classe ? - tous niveaux	08/06/2018
	A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?
	contre-exemple

Arithmétique

$N^{2} + N + 41$ est premier pour tout entier $N$ naturel. Cela fonctionne pour $N < 40$

$2 N^{2} + 29$ idem pour $N < 29$ (http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html)

Géométrie

Propriétés vraies dans le plan qui ne le sont pas dans l’espace :

Quel est le contraire de parallèle ?

Cette question pose un premier souci : l’implicite du plan. La réponse attendue ne sera bien sûr pas la même selon que l’on travaille dans le plan ou dans l’espace.

Dans le plan, la première réponse en 6e est généralement « perpendiculaire ».
Un contre-exemple contredit cette assertion : on peut facilement tracer deux droites non parallèles et non perpendiculaires.

Dans l’espace, on pourra facilement montrer (en observant la salle de classe par exemple), que l’on peut avoir deux droites non parallèles et non sécantes. On peut arriver à l’orthogonalité.

Définition d’une droite ; une tâche délicate

Un axiome d’Euclide : « De tout point à tout autre point on peut tracer une ligne droite. »

C’est un axiome, il s’agit donc de l’accepter. On pourra cependant le vérifier en cherchant des contre-exemples. Cette collection de contre-exemples non valides permettra de construire une représentation correcte de ce que dit ce postulat !
Ceci est sans doute à relier à Droites parallèles, droites sécantes dans le plan

Les élèves qui arrivent en 6e ont en générale une vision incomplète, voire erronée, de ce que sont deux droites parallèles.

Droites sécantes : deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun, et un seul.
Droites parallèles : deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne sont pas sécantes.

C’est bien la négation des droites sécantes qui définit les droites parallèles. Il s’agit donc de préciser ce qu’est « le contraire de 1 et 1 seul ».

On travaille sur les nombres entiers positifs, on aura donc 0 ou plusieurs. Ce qui donnera les droites strictement parallèles (généralement celles que les élèves connaissent à l’arrivée au collège) et aussi les droites confondues.

La situation des droites confondues présente d’ailleurs une difficulté : montrer, comprendre, se représenter que dès qu’il y a deux points communs, alors tous les points sont communs.

extrait du baccalauréat série S - Métropole juin 2018...

Probabilité

Des expériences non-aléatoires ???
Loi binomiale : comprendre les notions d’indépendance et d’expériences identiques.
On ne peut comprendre la loi binomiale à partir que d’exemples. Pour comprendre la notion d’indépendance, il faut avoir travailler sur des évènements indépendant et d’autres dépendants.

Calcul littéral

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

$3 x < 7 x$ pour tout $x$ réel
Si $x < 3$ alors $x^{2} < 9$
$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$

Statistiques

Augmentation successives de pourcentages
Histogrammes à pas non constant
Médianes/moyennes

Fonctions

Pour comprendre ce qu’est une fonction il faut avoir vu des exemples de non-fonction, un cercle par exemple

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

Si une fonction $f$ est strictement croissante alors $f' (x) > 0$
Si $a > b$ alors $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ avec $a$ et $b$ non nuls

Suites

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

Toute suite décroissante minorée par $- 1$ converge vers $- 1$ .
Une suite qui diverge vers est croissante
Toute suite bornée est convergente
Soient $(u_{n})$ une suite qui tend vers 0 et $(v_{n})$ une suite qui tend vers .
La suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n} = u_{n} \times v_{n}$ tend vers 0.
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites croissantes.
La suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n} = u_{n} \times v_{n}$ est croissante.
Un exercice :

La réponse à l’affirmation 2 de la dernière question demande clairement un contre-exemple !

Nombres complexes

Les affirmations ou questions suivantes sont fausses et un contre exemple permet de le prouver.

Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes. On a $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ .
Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes tels que $z_{1} + z_{2} = 0$ alors $z_{1} = z_{2} = 0$ .

information(s) pédagogique(s)

niveau : tous niveaux

type pédagogique :

public visé : non précisé

contexte d'usage :

référence aux programmes :

ressource(s) principale(s)

	pourquoi travailler des contre-exemples en classe ?	08/06/2018
	A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?
	contre-exemple

	des contre-exemples au collège	17/06/2018
	A quoi ça sert ? Dans quelle occasion ?
	contre-exemple

documents complémentaires

Fichiers associés

extrait du baccalauréat série S - Métropole juin 2018...

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