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Inégalité avec l'exponentielle

mis à jour le 02/05/2008


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Comment optimiser un paramètre en faisant le lien entre lareprésentation graphique de la fonction exponentielle et celle d'une famille dedroites.

mots clés : initiative, interpréter, conjecture, robustesse, exponentielle, famille de droites


Enoncé de l'activité


  1. Obtenir la représentation graphique de la fonction exponentielle à l'aide d'un logiciel de géométrie.
  2. Vérifier graphiquement si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
         a) 2x symbole inferieur ou égal ex  pour tout réel x.
         b) 3x symbole inferieur ou égal ex  pour tout réel x.
  3. Conjecturer la valeur à 10-2 près du plus grand réel a tel que :  ax symbole inferieur ou égal ex pour tout  réel x
  4. Démontrer la conjecture.

Objectifs


Le but de cette activité est d'optimiser un paramètre en faisant le lien avec les représentations graphiques de la fonction exponentielle et d'une famille de droites.

Scénario

1. Ce qui a été fait avant


L'étude des positions relatives de deux courbes a été reprise en exercice en début d'année, les chapitres sur les fonctions exponentielle et logarithme et leurs limites ont été traités.

Les élèves ont déjà travaillé sur ce logiciel de géométrie :
  • Deux problèmes d'optimisations dans des situations géométriques ont donné lieu à des créations de variables numériques telles que des abscisses et  des aires ainsi qu'à leurs affichages.
  • Deux résolutions graphiques d'équations de type f(x) = k  ont été élaborées en classe entière (un élève réalisant sur ordinateur les idées émises par la classe). La possibilité de créer une variable numérique pilotée au clavier leur a été présentée à cette occasion.
  • Cette séance s'est déroulée quelque temps après que les limites de la fonctions exponentielles aient été établies.

2. Le déroulement


Cette activité s'est déroulée, dans un premier temps, en demi classe pendant une séance de travaux dirigés. Chaque élève avait à sa disposition un poste informatique équipé d'un logiciel de géométrie et pouvait utiliser sa calculatrice graphique.
La traduction géométrique des deux premières inégalités n'est pas immédiate, puis l'utilisation de deux droites passant par l'origine se répand dans la classe.
La traduction géométrique de la troisième inégalité donne lieu à plusieurs types de stratégies :
  • Certains créent un point libre puis la droite passant par ce point et l'origine et affichent le coefficient directeur de cette droite. Ils déterminent une valeur approchée du paramètre a maximal par pilotage du point à la souris.
  • Certains procèdent par essais successifs de modification du coefficient directeur des deux premières droites.
  • Des élèves se sont rappelé la création possible d'une variable numérique puis ils ont créé la droite d'équation y = ax.
Cette dernière méthode est présentée au reste du groupe avec la possibilité du réglage de la précision de a. Les élèves sont intéressés par la finesse de précision que procure cette fonction.
Les limites de la conjecture laissent ensuite entière place à la démonstration.

La démonstration de la conjecture est laborieuse pour beaucoup d'élèves. Le début de la démarche ne pose pas de problème, les élèves utilisent la fonction intermédiaire définie par  (la fonction intermédiaire  n'a pas été envisagée). La gestion du paramètre a les gêne tous plus ou moins longtemps au moment d'envisager une étude des variations. Chaque élève a pu disposer du temps nécessaire pour surmonter ses blocages. Quelques élèves mènent la démonstration à terme avant la fin de la séance, mais les autres sont à des étapes diverses. Une mise au point sur la mise en œuvre est faite avec tout le groupe et chacun doit poursuivre sa démonstration pour la prochaine séance.

La pertinence du logiciel de géométrie


Le logiciel de géométrie permet d'émettre une conjecture plus précise que la plupart des calculatrices. Il permet aux élèves de mieux aborder la notion de paramètre en visualisant facilement un grand nombre de représentations graphiques. La visualisation rapide des représentations graphiques laisse ensuite le temps nécessaire au travail de démonstration.

Compétences expérimentales mises en œuvre


  • Prendre l'initiative d'interpréter graphiquement une inégalité fonctionnelle.
  • Prendre l'initiative d'agir sur la précision de la variable (pilotée au clavier ou par un curseur).
  • Tester la robustesse d'une conjecture par utilisation de zoom.
 
auteur(s) :

Nathalie Mary

information(s) pédagogique(s)

niveau : Terminale S

type pédagogique : scénario, séquence

public visé : enseignant, élève

contexte d'usage : salle multimedia

référence aux programmes :

documents complémentaires

Les fichiers associés
Cette activité en version DOC Le fichier Geoplan  Les fichiers géogebra  premier et le second

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