Dans un premier temps, les élèves sont choqués que l'on puisse écrire

, c'est le début d'une discussion sur les différents sens du symbole = en liaison avec les quantificateurs.
Une élève fait observer à ses camarades que, si l'égalité est fausse en général, elle peut être vraie pour certaines valeurs de
x et de
y : elle propose
x = 0 et
y = 0.
Un élève propose de travailler sur l'équation

.
Plusieurs élèves arrivent à l'équation 2
xy = 0 puis le lien avec le produit nul est fait : mais il y a hésitation entre «
x = 0 et
y = 0 » et «
x = 0 ou
y = 0 ».
La représentation géométrique des points solutions se fait relativement sans problème et permet de (re)parler de la notion d'équation de droite.
A partir du b), on peut s'affranchir des difficultés de calcul en utilisant un logiciel de calcul formel ( par exemple Xcas ou Wiris).
Le calcul formel ne dispense aucunement l'élève de l'élaboration d'une stratégie. La transformation de la question posée en une autre question que l'on peut traiter reste à sa charge. Par exemple, traduire le problème en « rechercher tous les réels
a et
b tels que

. L'intelligence des calculs des calculs à faire pour traiter cette question reste également à sa charge : développer, factoriser ?
Le calcul formel, inutile pour la première question, pourra aider certains élèves pour mener à bien les calculs du b) .
Il ne dispense que de la maîtrise technique quand la maîtrise du cas simple est avérée.
Il devient précieux pour les élèves qui abordent la question défi.
On produit différentes écritures d'une expression par développement ou factorisation. La résolution d'une équation poussera à opter pour la forme factorisée.
Dans le défi, l'écriture de

sous la forme canonique

est intéressante à exploiter et donne lieu à une véritable réflexion sur les informations apportées par cette nouvelle écriture (une somme de deux carrés est nulle ssi les deux termes sont nuls...).
Un élève a même obtenu

: joli mais pas très intéressant ici.