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Bénéfice au stade

mis à jour le 04/05/2009


vignette.jpg

Cette activité d'optimisation proposée aux élèves de la série L privilégie l'outil «tableur».

mots clés : tableur , optimisation , maximum


Enoncé


Le stade ... peut accueillir 50000 personnes au maximum. On y organise des spectacles (compétitions sportives, concerts, etc ...). La société qui gère l'organisation d'évènements dans ce stade a connaissance de quelques données statistiques :
-    Lorsque l'entrée au spectacle est gratuite, le stade est plein.
-    Le nombre de spectateurs diminue proportionnellement à l'augmentation du prix du billet :
Chaque augmentation d'un euro sur le prix du billet d'entrée entraîne une diminution de 600 spectateurs.
-    L'organisation d'un spectacle entraîne un coût fixe de 200000 euros auquel il faut ajouter un coût égal à 5 euros par spectateur.

 
L'objectif de cette société est de réaliser un bénéfice maximal lorsqu'elle organise un tel spectacle. Pour simplifier la situation, on considère que le prix du billet sera le même pour tous les spectateurs (quelque soit leur place dans le stade ...).
A quel prix (au centime d'euro près) doit-elle fixer le billet d'entrée ? Quel sera alors le bénéfice réalisé et le nombre de spectateurs dans le stade ?
Toute tentative de résolution, même partielle, doit apparaître sur la copie. Les outils tels que la calculatrice ou le tableur de l'ordinateur peuvent être utilisés. La réponse doit être justifiée sous n'importe quelle forme (calculs , tableaux, graphiques ...).

Déroulement du scénario


On peut voir la totalité de cette expérimentation et les travaux d'élèves sur l'annexe jointe

Contexte


En début d'année de première (en maths-info). Les élèves ont déjà travaillé sur le tableur à plusieurs reprises. L'énoncé est donné à une classe de 24 élèves en début d'heure. La classe est organisée en 10 groupes de 2 ou 3 élèves. Les élèves sont installés dans une salle banalisée mais peuvent accéder aux ordinateurs d'une salle adjacente.

Déroulement

Première scéance (1heure)

Après lecture de l'énoncé, une équipe décide d'aller directement travailler sur un ordinateur.
Les autres restent dans la salle banalisée.

Dans beaucoup d'équipes, la discussion s'engage autour d'une question : « faut-il fixer un prix d'entrée le plus grand possible pour réaliser le bénéfice maximal ? » .Quelques équipes mettent beaucoup de temps pour répondre par la négative à cette question. Pour ces élèves la recette et le bénéfice ne font qu'un ...
Quelques exemples proposés par le professeur permettent de clarifier cette question.
Deux équipes choisissent alors de faire les calculs sur le tableur après quelques essais sur papier.
Pratiquement toutes les équipes se lancent dans la réalisation d'un tableau sur papier pour présenter les calculs après être convaincus de la nécessité de faire plusieurs essais de prix.
Une équipe tient à réaliser un graphique avant de passer à un tableau.

Aucune équipe ne passe au calcul algébrique en prenant le prix d'une place pour variable ...
3 équipes sur 10 ont donc utilisé le tableur au cours de cette séance.

A la fin de cette séance : L'équipe qui a travaillé toute la séance sur le tableur a imprimé un tableau sur lequel apparaît clairement le prix à un euro près qui permet de réaliser le bénéfice maximal. Les autres équipes ont effectué des essais mais ne s'approchent pas encore de ce résultat. Une équipe de 2 élèves n'a toujours pas compris le problème.

Deuxième séance (35 minutes))
Le professeur projette les 7 extraits des copies des élèves proposés ci-dessous.
Les élèves sont invités, en classe entière, à réagir et à prendre des notes pendant la discussion.
L'objectif annoncé en début de séance est de finir ce problème à la maison (ou au lycée), toujours par équipe, avec un délai d'une semaine.
Après échanges, la plupart des équipes annoncent qu'elles utiliseront le tableur pour finir ce travail. Quelques autres préviennent qu'elles ne réussiront pas par manque de maîtrise de l'outil. Le professeur commence alors le tableau sur le tableur et les élèves suivent grâce au vidéoprojecteur.

[titrelong


Le travail final est rendu une semaine plus tard.
Huit équipes rendent un tableau obtenu  par un  tableur. Parmi ces équipes, certaines ont trouvé le prix cherché au centime près, les autres s'en tenant à un arrondi à l'euro près.
Une équipe rend un tableau similaire sur papier (le tableur n'a pas été utilisé).
L'équipe qui n'avait pas compris le problème rend un tableau incomplet sur papier.
 
 prix billet nb spec recette dépense bénéf
 43 24 200
 1 040 600
 321 000
 719 600
 43,1 24 140
 1 040 434
 320 700
 719 734
 43,2 24 080
 1 040 256
 320 400
 719 856
 43,3 24 020
 1 040 066
 320 100
 719 966
 43,4 23 960
 1 039 864
 319 800
 720 064
 43,5 23 900
 1 039 650
 319 500
 720 150
 43,6 23 840 1 039 424
 319 200
 720 224
 43,7 23 780 1 039 186
 318 900
 720 286
 43,8 23 720 1 038 936
 318 600
 720 336
 43,9 23 660 1 038 674
 318 300
 720 374
 44 23 600
 1 038 400
 318 000
 720 400
 44,1 23 540
 1 038 114
 317 700
 720 414
 44,2 23 480
 1 037 816
 317 400
 720 416
 44,3 23 420
 1 037 506
 317 100
 720 406
 44,4 23 360
 1 037 184
 316 800
 720 384
 44,5 23 300
 1 036 850
 316 500
 720 350
 44,6 23 240
 1 036 504
 316 200
 720 304
 44,7 23 180
 1 036 146
 315 900
 720 246
 44,8 23 120
 1 035 776
 315 600
 720 176
 44,9 23 060
 1 035 394
 315 300
 720 094
 45 23 000
 1 035 000
 315 000
 720 000

 
auteur(s) :

Olivier Pinson

information(s) pédagogique(s)

niveau : 1ère L

type pédagogique : non précisé

public visé : enseignant, élève

contexte d'usage : non précisé

référence aux programmes :

documents complémentaires

Les fichiers associés
Un expérimentation Optimisation du bénéfice au format XLS ou ODS

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