Le texte de l'activité est distribué.
Quelques cas particuliers sont abordés : M au milieu de [AB], cas où AM=2 etc...
Les élèves imaginent mal ce qui se passe quand M est proche de A ou de B.
Je propose alors une animation avec Géospace.
S'approprier la situation avec le logiciel géospace :La figure dynamique obtenue par le pilotage au clavier du point M va permettre à chaque élève de s'approprier la situation. On peut lancer les questions suivantes :
Quelles sont les valeurs possibles pour la longueur AM ?
Que se passe-t-il pour M très proche de A ?
Que se passe-t-il pour M très proche de B ?
La fonction V apparaît comme lien entre la longueur AM notée x (compris entre 0 et 6) et le volume du pavé hachuré...Sachant que V(0) =0 et que V(6) =0, on peut demander aux élèves de dessiner à main levée une courbe représentative possible pour la fonction V. Les conjectures sur la croissance puis la décroissance de V s'expriment ainsi que l'existence fortement probable d'un maximum au moins.
Affiner la conjectureOn peut affiner la conjecture en faisant afficher les valeurs de x et celles de V(x)
On arrive à conjecturer l'existence d'un maximum (et un seul).
Vers un tracé plus précis Le tracé à main levée de la courbe représentative de V sur [0 ;6] devient plus clair mais les élèves souhaitent un dessin plus préçis.
Avec Géospace, en pilotant M au clavier ,on voit simultanément l'évolution de la forme du pavé hachuré et la valeur du volume correspondant.
L'interactivité entre la position de M et le tracé de la courbe est bien illustrée.
Les élèves aimeraient disposer de ce graphique sur leur calculatrice.
Vers une écriture algébrique de V(x)Il est temps de passer à l'écriture algébrique de V(x) à l'aide de x.
On obtient : V(x) = x2 (6-x) et la courbe peut s'afficher sur chaque calculatrice .
Les élèves peuvent alors conjecturer la valeur de x pour laquelle le maximum est atteint.
Ils peuvent s'aider de leur calculatrice graphique et arrivent à la conjecture suivante :
« Le volume semble maximum quand x = 4 ».
Il s'agit maintenant de prouver cette conjecture en étudiant le signe de V(x)-V(4) quand x appartient à l'intervalle [0 ; 6 ] avec V(x)-V(4) = x2 (6 - x) - 32.
Utilisation d'un logiciel de calcul formelLe problème est de changer l'écriture de x2(6-x)-32 pour mieux étudier le signe de cette expression. Pour un élève de seconde l'aide d'un logiciel de calcul formel est précieuse.
On peut voir ci-contre, différentes écritures de cette expression obtenues par TInspire .
Suit un travail de réflexion sur ces différentes écritures : quelle est l'écriture la plus adaptée à l'étude du signe de V(x)-V(4) ?
Les écritures - (x + 2)(x - 4)2 ou (-x - 2)(x - 4)2 vont permettre de résoudre le problème.