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Les châteaux de cartes

mis à jour le 09/04/2008


cartes.jpg

Une activité attractive pour donner du sens au concept difficile de suite numérique. On utilise un tableur, les nuages de points et éventuellement le calcul formel.

mots clés : initiative, tableur, automatiser, calcul formel, suite, récurence, nuage de points


Travail dirigé et devoir de recherche donnés en terminale S (peut aussi convenir en 1S).

Enoncé de l'exercice donné en devoir de recherche à la maison



Avec des cartes à jouer, on construit un "château de cartes" comme indiqué ci-dessous.
On supposera (ce qui est purement théorique !) qu'il est "techniquement" possible de réaliser la construction quel que soit le nombre d'étages, sous réserve que le nombre de cartes dont on dispose est suffisant.



Trouver une formule qui permettrait, connaissant le nombre d'étages du château, de donner le nombre total de cartes nécessaires à la construction de ce château.

Objectifs


Cet exercice est l'un des deux exercices d'un devoir de recherche donné en début d'année en terminale S.
Les élèves ont environ une semaine pour chercher et rédiger ce problème. Pendant la phase de recherche, ils peuvent échanger des idées entre eux et aussi me poser des questions. La rédaction finale doit être personnelle.

L'objectif essentiel est de réactiver les connaissances de première sur les suites.

Scénario

Un compte rendu plus complet peut être consulté en annexe.

1. La semaine du devoir

Assez vite beaucoup de questions : certains sont arrivés facilement à une réponse alors que d'autres restent bloqués. Je demande l'exposé des démarches :
 
Certains ont raisonné sur le nombre de cartes à ajouter quand on passe d'un étage à l'étage suivant.
Ils ont ainsi découvert une suite arithmétique de raison 3
qui permet vite de résoudre le problème.
 
D'autres ont travaillé avec le nombre f (n) de cartes nécessaires
à la construction d'un château de  n  étages en remarquant que
pour un château à n  étages il y a n +1 cartes à la base.
 
Pour passer à un château à n+1 étages,
il est nécessaire de rajouter n cartes horizontales et 2(n +1) cartes qui formeront la base de ce nouveau château. D'où la relation : f (n+1) = f (n) + n + 2(n + 1) ou encore f (n+1) = f (n) + 3n + 2.

Et là , problème ! Les élèves ne savent pas quoi faire avec cette relation.

2. Mise en place une séance de travaux dirigés dès le lendemain.

Les TICE vont intervenir comme outil d'investigation

D'abord calculer les premiers termes avec un tableur.
Pas d'idées nouvelles si ce n'est que cette suite n'est guère sympathique.


Deuxième idée : tracer un nuage de points . Là, les idées sont plus nombreuses : le nuage a une forme parabolique...  f (n ) s'écrirait sous la forme f (n) = an² + bn + c avec a , b , c constantes réelles.
Comment calculer ces constantes?

En utilisant le calcul des premiers termes, on se ramène à un système : 
Ce système n'est pas compliqué, mais comme nous sommes en phase de recherche de conjecture, on peut faire appel à un logiciel de calcul formel qui donnera facilement le résultat. D'où 
Les quelques élèves qui avaient travaillé avec la suite arithmétique un sont heureux de retrouver le même résultat.
Ceux qui avaient utilisé la deuxième méthode sont maintenant en bonne voie de terminer le devoir.

3. Le lendemain à nouveau des questions :

« Quand on a trouvé la formule , on a fini ? »
Oui bien sûr pour les quelques uns qui ont travaillé avec la suite arithmétique un . Mais pour les autres...
Les avis sont partagés. Discussion : analyse du raisonnement fait la veille...
Le nuage de points avait l'allure d'une parabole mais rien n'est très sûr. La parabole trouvée convient pour les trois premiers termes mais la « formule » reste-t-elle bonne par la suite ?
Les élèves se mettent d'accord pour dire que la formule établie la veille pour  est une conjecture.
Il reste à prouver cette conjecture et l'idée d'un raisonnement par récurrence est vite avancée.
En première S, il suffit de vérifier que la suite  de terme général  (formule conjecturée) est définie par le même premier terme et la même relation (pour tout entier n1 , ) que la suite cherchée.
 

4. Encore les TICE au moment de la correction


Je propose de revenir sur la partie tableur en proposant le tableau suivant :

Les résultats de la colonne D laissent penser que la suite (Un)
de la colonne C est arithmétique de raison 3.

On se dirige donc vers une troisième méthode de résolution .
 
En partant de la relation f (n+1) = f (n) + 3n + 2  avec f (1) = 2 ,
on obtient immédiatement : f (n) = f (n-1) + 3n - 1 ou f (n) - f (n-1) = 3n - 1 .
La suite (Un) définie par : U1 = 2  et Un = f (n) - f (n-1) = 3n - 1 pour n >= 2  est clairement arithmétique de raison 3. On retrouve d'ailleurs la suite(Un) évoquée au début et la boucle est bouclée.
Le tableau montre bien la façon de calculer f (n)  avec f (n) = U1 + ... + Un .
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique permet d'obtenir : 


Les outils nécessaires ou utiles


Pour les élèves ( peu nombreux) qui ont vu tout de suite l'existence d'une suite arithmétique pour compter le  nombre de cartes à chaque étage, l'environnement informatique n'apporte rien.

Pour les autres, un tableur, un grapheur et éventuellement un logiciel de calcul formel ont été bienvenus pour observer ,conjecturer et abréger certains calculs.

Pour cette classe, la nouvelle calculatrice TInspire a été un bon outil de travail.


Les compétences expérimentales qui peuvent être évaluées


Prendre l'initiative d'utiliser un tableur pour automatiser le calcul des premiers termes d'une suite.
Prendre l'initiative d'utiliser un nuage de point pour visualiser une situation.
Mobiliser le calcul formel pour une tâche de calcul plus technique.
Mettre en place des éléments de contrôle et des vérifications.
 
auteur(s) :

Gérard Cordes

information(s) pédagogique(s)

niveau : Terminale S, 1ère S

type pédagogique : non précisé

public visé : enseignant, élève

contexte d'usage : non précisé

référence aux programmes :

documents complémentaires

Les fichiers associés
Le plan de l'activité au format DOC L'annexe au format DOC

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