mathématiques
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modéliser la température du café
mis à jour le 29/04/2021
Un café et pas trop chaud s'il vous plait...
mots clés : équation différentielle, Newton, modélisation
Activité proposée en terminale option "mathématiques complémentaires"
Inspiré du sujet de mathématiques du BAC S - Asie 2019
Rappel : la loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant..
[L'activité]
M Perk s'installe à la terrasse d'un bar parisien (tout ressemblance avec un personnage existant ne serait que pure coincidence car actuellement les bars sont fermés...). La température extérieure est de 10°C (ben oui il fait froid à Paris...).
Un serveur approche et demande : "Et qu'est-ce qu'on lui sert au monsieur ?"
M Perk ne relève pas le ton surprenant de la question et répond : "Un café s'il vous plait."
Le serveur crie vers le comptoir : "et un café pour la table n°4 !!!" (NDLR : le numéro de la table ne sera pas utile pour la suite du problème)
La machine à café chauffe et remplit la tasse d'un café italien pur arabica (oh le placement produit à 2 balles...) à une température précise de 80°C (certifié par le constructeur italien).
Le serveur apporte le café en terrasse, le dépose et dit "4,50 € !"
M Perk paye (sans relever le prix indécent du café parisien) et pour faire genre "je frime en terrasse d'un café de la rive gauche", il attend un peu que son café refroidisse en regardant les passants des quais de Seine... (vraiment quel cliché !)
Il remarque qu'au bout de 1min 30s son café a atteint la température de 61,85°C (précis le mec... on sent qu'on n'a pas affaire à un amateur....)
Mais M Perk souhaite boire son café à exactement 40°C (on sent quand même le mec un peu psycho rigide).
Il décide donc d'attendre.
Combien de temps doit-il encore attendre ?
Détailler votre répondre à l'aide d'une démarche précise et répondre à la seconde près.
Inspiré du sujet de mathématiques du BAC S - Asie 2019
Rappel : la loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant..
[L'activité]
M Perk s'installe à la terrasse d'un bar parisien (tout ressemblance avec un personnage existant ne serait que pure coincidence car actuellement les bars sont fermés...). La température extérieure est de 10°C (ben oui il fait froid à Paris...).
Un serveur approche et demande : "Et qu'est-ce qu'on lui sert au monsieur ?"
M Perk ne relève pas le ton surprenant de la question et répond : "Un café s'il vous plait."
Le serveur crie vers le comptoir : "et un café pour la table n°4 !!!" (NDLR : le numéro de la table ne sera pas utile pour la suite du problème)
La machine à café chauffe et remplit la tasse d'un café italien pur arabica (oh le placement produit à 2 balles...) à une température précise de 80°C (certifié par le constructeur italien).
Le serveur apporte le café en terrasse, le dépose et dit "4,50 € !"
M Perk paye (sans relever le prix indécent du café parisien) et pour faire genre "je frime en terrasse d'un café de la rive gauche", il attend un peu que son café refroidisse en regardant les passants des quais de Seine... (vraiment quel cliché !)
Il remarque qu'au bout de 1min 30s son café a atteint la température de 61,85°C (précis le mec... on sent qu'on n'a pas affaire à un amateur....)
Mais M Perk souhaite boire son café à exactement 40°C (on sent quand même le mec un peu psycho rigide).
Il décide donc d'attendre.
Combien de temps doit-il encore attendre ?
Détailler votre répondre à l'aide d'une démarche précise et répondre à la seconde près.
Elements de correction
Exemple de mise en œuvre en cours
Ce qui avait été fait avant : les élèves ont étudié un problème similaire dans une activité collective
Source (Manuel Déclic Hachette Maths Complémentaires problème 118 page 91
« Dans une cuisine dont la température ambiante est constante et égale à 22°C, Justine suis la recette d'une tarte qui doit cuire dans un four à la température de 180°C et doit être servie à 25°C.
Vingt minutes après avoir sorti la tarte du four, Justine contaste que la température de la tarte a diminué de 80°C. »
Cette activité a été résolue en classe la semaine précédant la séance de la tasse à café.
Ce qui a été fait le jour de cette séance sur la tasse à café : les élèves ont formé des groupes de 3 et chaque groupe disposait d'une salle de classe (les séances de mathématiques complémentaires dans mon lycée ont lieu le mercredi après-midi… 9 salles disponibles pour mes 9 groupes d'élèves…).
Les élèves ont donc pu travailler directement sur un tableau. Chaque groupe disposait d'environ 20 minutes pour produire une solution. Voici quelques exemples de productions.
Source (Manuel Déclic Hachette Maths Complémentaires problème 118 page 91
« Dans une cuisine dont la température ambiante est constante et égale à 22°C, Justine suis la recette d'une tarte qui doit cuire dans un four à la température de 180°C et doit être servie à 25°C.
Vingt minutes après avoir sorti la tarte du four, Justine contaste que la température de la tarte a diminué de 80°C. »
Cette activité a été résolue en classe la semaine précédant la séance de la tasse à café.
Ce qui a été fait le jour de cette séance sur la tasse à café : les élèves ont formé des groupes de 3 et chaque groupe disposait d'une salle de classe (les séances de mathématiques complémentaires dans mon lycée ont lieu le mercredi après-midi… 9 salles disponibles pour mes 9 groupes d'élèves…).
Les élèves ont donc pu travailler directement sur un tableau. Chaque groupe disposait d'environ 20 minutes pour produire une solution. Voici quelques exemples de productions.
Exemples de productions d'élèves
Stéphane Percot, enseignant au lycée Rosa Parks, La roche sur Yon (85)
information(s) pédagogique(s)
niveau : tous niveaux, Terminale
type pédagogique :
public visé : non précisé
contexte d'usage :
référence aux programmes :
documents complémentaires
| Fichier(s) associé(s) |
 la présente activité. |
mathématiques - Rectorat de l'Académie de Nantes